Dérivées successives
Soit 
une fonction dérivable sur un intervalle 
.
est la dérivée première de , on la note aussi 
ou encore 
.
Si est dérivable sur , sa dérivée 
est appelée fonction dérivée seconde de, on la note aussi 
ou encore 
Par itération, la fonction dérivée d'ordre
(
), notée 
, est la dérivée de la fonction dérivée d'ordre 
. On la note aussi 
. On dit alors que est fois dérivable.
Définition : Fonction continûment dérivable
Si une fonction est dérivable sur un intervalle et si sa dérivée est continue sur , on dit que est continûment dérivable sur . On dit alors que est de classe 
sur .
Plus généralement, on dit que est fois (
) continûment dérivable sur , ou de classe 
sur , si est fois dérivable sur et si est continue sur .
Par convention : on pose 
et on dit que est de classe 
sur si est continue sur . Si admet des dérivées de tous ordres, on dit que est de classe 
.
Fondamental : Théorème
(Formule de Leibniz) Soient 
et 
deux fonctions fois dérivables sur un intervalle , on montre aisément :
Par récurrence, il est assez aisé de montrer la formule de Leibniz :
Exemple :
Dérivée d'ordre de la fonction définie sur 
par 
On écrit 
On applique la formule de Leibniz, on obtient :
Soit :
