Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis
Fondamental : Théorème de Rolle
Soit une fonction continue sur
, dérivable sur
et telle que
.
Alors il existe tel que
Fondamental : Théorème des accroissements finis
Soit une fonction continue sur
, et dérivable sur
.
Alors il existe tel que
.
Fondamental : Inégalité des accroissements finis
Soit une fonction dérivable sur un intervalle
,
et
deux points de
tels que
. S'il existe deux réels
et
tels que, pour tout
de
, on ait :
, alors on a :
Pour démontrer ce théorème, il suffit d'étudier les variations de deux fonctions auxiliaires définies sur :
et
. En calculant les dérivées de
et
, on prouve aisément que
est décroissante et que
est croissante.
on en déduit que,
c'est à dire :
ou encore :
(1)
De même,
c'est à dire
ou encore
(2)
En utilisant (1) et (2), on obtient le théorème précédent.
Exemple :
Soit la fonction définie sur
par
.
On a :
Pour , on a
, car la fonction tangente est croissante sur
Donc, pour , on a
et donc
On en déduit que, pour ,
Et donc : pour ,