Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis
Fondamental : Théorème de Rolle
Soit 
une fonction continue sur 
, dérivable sur 
et telle que 
.
Alors il existe 
tel que 
Fondamental : Théorème des accroissements finis
Soit une fonction continue sur , et dérivable sur .
Alors il existe tel que 
.
Fondamental : Inégalité des accroissements finis
Soit une fonction dérivable sur un intervalle 
, 
et 
deux points de tels que 
. S'il existe deux réels 
et 
tels que, pour tout 
de , on ait : 
, alors on a :
Pour démontrer ce théorème, il suffit d'étudier les variations de deux fonctions auxiliaires définies sur : 
et 
. En calculant les dérivées de 
et 
, on prouve aisément que est décroissante et que est croissante.
on en déduit que,
c'est à dire :
ou encore :
(1)
De même,
c'est à dire
ou encore
(2)
En utilisant (1) et (2), on obtient le théorème précédent.
Exemple :
Soit la fonction définie sur 
par 
.
On a : 
Pour 
, on a 
, car la fonction tangente est croissante sur
Donc, pour , on a
et donc 
On en déduit que, pour 
, 
Et donc : pour , 
