Nombre dérivé à gauche, à droite
La fonction
est dérivable sur 
et sur 
. Mais au point 
, il n'est pas possible de conclure.
On calcule
La fonction 
n'est pas dérivable au point 1, car les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement en ce point sont différentes, il n'existe donc pas de nombre dérivé au point 1. La courbe admet au point 1 deux demi-tangentes de coefficients directeurs 1 et -1.
Définition :
Une fonction définie sur un intervalle 
contenant le réel 
est dérivable à droite [respectivement à gauche] en si et seulement si 
[respectivement 
] existe et est finie.
Cette limite est alors notée 
[respectivement 
]
et sont les coefficients directeurs des demi-tangentes au point .
Fondamental : Théorème
Soit une fonction définie sur un intervalle contenant le réel , est dérivable en si et seulement si est dérivable à gauche et à droite en a et 
.
De plus, sous ces hypothèses, on a : 
.
Définition :
Si est une fonction dérivable en tout point d'un intervalle 
, dérivable à gauche en 
et à droite en , on dit que est dérivable sur 
.
