ANALYSE - Concours B des ENSA

Limite d'une suite

Définition

Définition

Soit  une suite numérique et  un réel. On dit que converge vers  (ou a pour limite ) si tout intervalle ouvert contenant , contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Autrement dit :,

On note ou encore

Si la suite  ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.

Remarque

Remarque

Si une suite est convergente, sa limite est unique.

Exemple

Exemple

Soit , on a

En effet

Et donc

Plus généralement

Les suites définies, pour , par : , () ont pour limite 0

Suite de limite infinie

Définition

Soit  une suite numérique et  un réel positif choisi aussi grand qu'on le veut. On dit que admet pour limite  si tout intervalle de la forme  contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Autrement dit :

On note _ou encore

De même :

admet pour limite

On note  ou encore

Lorsque la suite admet pour limite  [respectivement ], on dit qu'elle diverge vers  [respectivement ]. Mais attention, une suite peut être divergente pour deux raisons :

  • soit sa limite est  ou

  • soit elle n'a pas de limite : par exemple la suite définie par : est une suite alternée, chaque terme est égal à 1 si est pair ou (-1) si est impair ; elle n'a pas de limite, on dit qu'elle diverge.

RemarqueImportant

Les suites définies, pour , par : , () ont pour limite

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