2.4 Point de vue du système dynamique
Rappel :
Nous avons vu que la méthode des caractéristiques conduisant à la résolution d'un système d'équations différentielles ordinaires que l'on peut écrire sous la forme
\[\left\{\begin{matrix} \dot q & = & c(p,q,t) \cr \dot p & = & f(p,q,t) \end{matrix}\right. \;, \] |
en notant \(q=x\) et \(p=\rho\).
La théorie des systèmes dynamiques étudie les équations différentielles ordinaires couplées en considérant toutes les conditions initiales \([q(0), p(0)]= (q_0, p_0)\) possibles. Le plan \((q, p)\) est appelé "espace des phases''. Le vecteur \((c,f)\) définit en tout point de cet espace peut être vu comme un champ de vitesse. Les solutions \([q(t), p(t)]\) sont naturellement appelées des trajectoires.
Fondamental :
La résolution de l'équation d'advection scalaire \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + u\; \frac{\partial \rho}{\partial x} = f\) avec sa condition initiale \(\rho(x,0)=\rho_0(x)\) s'obtient en résolvant le système dynamique pour l'ensemble des conditions initiales décrivant la courbe \(p_0 = \rho_0(q_0).\) À un instant \(t\) donné, la solution \(\rho(x,t)\) s'obtient en décrivant l'ensemble des positions (états) \([q(t), p(t)]\) des trajectoires sous la forme d'une courbe \(p=P_t(q)\) lorsque c'est possible. On a alors \(\rho(x,t)= P_t(x).\)
Mais il peut se faire que l'ensemble des positions ne puissent pas se mettre sous cette forme univaluée pour \(p\) mais sous la forme plus générale \(F_t(p,q)=0\) où plusieurs valeurs de \(p\) peuvent être associées à une seule valeur de \(q\). Cette situation se produit lorsque plusieurs courbes caractéristiques se coupent dans le plan \((x,t)\). L'équation d'advection scalaire cesse alors d'être valide dans la mesure où la solution n'est plus continue. Sur le plan de la physique décrite par le modèle, il faut spécifier des "relations de saut'' pour décrire la dynamique de ces chocs. Sur le plan des mathématiques, la résolution du système dynamique est un moyen de prolonger la résolution de l'équation aux dérivées partielles au-delà du temps où apparaît le choc. Mais cette prolongation n'a pas forcément de sens pour le problème physique modélisé.