Objectifs
Le but de ce module est d'exposer la méthode des caractéristiques utilisée pour résoudre analytiquement ou de manière conceptuelle de nombreux problèmes physiques : propagation des ondes, dynamique des écoulements compressibles ou des eaux peu profondes, advection d'un scalaire, etc. Cette méthode permet de résoudre les équations aux dérivées partielles hyperboliques.
La méthode des caractéristiques est exposée ici sur l'exemple de l'advection 1D (unidimensionnelle) d'une grandeur scalaire par une vitesse qui peut dépendre de l'espace, du temps ou du scalaire lui-même. Un simulateur de trafic routier, disponible sous forme de "jeu sérieux", permet d'illustrer le cas où la vitesse ne dépend que du scalaire, qui représente ici la densité d'automobiles circulant sur une route.
Plusieurs objectifs de formation sont visés :
Comprendre la notion de dérivée d'une fonction le long d'une courbe du plan espace-temps.
Visualiser la résolution d'un équation aux dérivées partielles hyperbolique par le tracé des courbes caractéristiques.
Formuler l'équivalence entre la résolution de l'équation aux dérivées partielles et celle du système dynamique associé par la méthode des caractéristiques, en particulier par la connexion entre les conditions initiales des deux problèmes.
Visualiser les limites de la méthode lorsque les courbes caractéristiques se coupent et identifier la nécessité d'une modélisation supplémentaire pour décrire d'éventuels chocs.
Les compétences à acquérir lors de l'étude de cet article pédagogique sont les suivantes :
Maîtriser l'ensemble des notations associées à la méthode des caractéristiques.
Maîtriser la résolution des cas particuliers linéaires ou la vitesse d'advection est constante, ne dépend que de l'espace ou bien que du scalaire advecté en l'absence de forçage.
Appliquer la méthode des caractéristiques en discernant si le problème peut être résolu analytiquement (sur les cas simples) ou si l'on doit recourir à une méthode numérique.