Introduction du cours écrit
Fondamental :
On présente ici la méthode de résolution de l'équation aux dérivées partielles unidimensionnelle (1D) suivante
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + c(\rho,x,t) \, \frac{\partial\rho}{\partial x} = f(\rho, x,t) \] |
dans le cas général ou dans les cas particuliers où les fonctions \(c\) et \(f\) sont indépendantes de certaines de leurs variables.
Cette équation représente l'advection d'un champ scalaire \(\rho(x,t)\) par le champ de vitesse \(c(\rho,x,t)\) qui dépend de l'espace \(x\) et du temps \(t\) ainsi que la valeur du champ \(\rho\) lui-même. Le terme \(f(\rho,x,t)\) représente un terme de production de la grandeur \(\rho.\) Ce type d'équation se rencontre très souvent en mécanique des fluides. L'examen approfondi de cet exemple est un préalable pour la présentation de la méthode des caractéristiques utilisée pour la résolution des équations aux dérivées partielles en \((x,t)\) hyperbolique couplant l'évolution de plusieurs champs scalaires. Cette présentation traite en fait de la méthode des caractéristiques dans le cas le plus simple possible.