2.2 Méthode des caractéristiques
Exemple :
Supposons par exemple que l'on connaisse la condition initiale \(\rho(x,0) = \rho_0(x)\) de l'équation aux dérivées partielles. La résolution du système d'équations différentielles ordinaires avec les conditions initiales \(x(0)=a\) et \(\rho(0) = \rho_0(a)\) permet de résoudre le problème, dans la région du plan \((x,t)\) où les courbes caractéristiques ne se coupent pas. Dans cette région, il est possible de construire une solution \(\rho(x,t)\) de l'équation aux dérivées partielles à partir des solutions du système d'équations différentielles ordinaires.
Remarque :
Dans les régions où ces courbes se coupent, les solutions du systèmes d'équations différentielles ordinaires conduisent à des fonctions \(\rho(x,t)\) multivaluées. Sur la frontière de ces deux types de régions, les solutions de l'équations aux dérivées partielles cessent d'être continues et il y a donc apparitions de chocs. Il faut alors invoquer d'autres équations (les relations de saut) pour calculer la dynamique de ces chocs.
Fondamental :
Plus généralement, il suffit de connaître la valeur de \(\rho(x,t) = \rho_{\cal L}(t)\) sur une courbe \({\cal L}\) transverse aux courbes caractéristiques pour pouvoir résoudre l'équations aux dérivées partielles. En effet, les courbes caractéristiques "propagent'' l'information dans le plan \((x,t)\) à partir de l'information connue sur la courbe \({\cal L}\). Dans le cas général, on ne sait pas a priori si une courbe \({\cal L}\) sera transverse ou non aux courbes caractéristiques dont la forme est déterminée par la valeur de \(\rho\) sur \({\cal L}\).