2.3 Point de vue du changement de variable
Remarque :
Une autre manière de présenter ou de voir la méthode des caractéristiques consiste à considérer le changement de variable permettant de passer du couple \((x,t)\) au couple de nouvelles variables \((a,\tau)\) définies par les relations
\[\left\{\begin{matrix} da & =& dx - c[\rho(x,t), x, t] \; dt \cr d\tau & = & dt \qquad \end{matrix}\right. \;.\] |
Une autre manière de présenter ou de voir la méthode des caractéristiques consiste à considérer le changement de variable permettant de passer du couple \((x,t)\) au couple de nouvelles variables \((a,\tau)\) définies par les relations
\[\left\{\begin{matrix} da & =& dx - c[\rho(x,t), x, t] \; dt \cr d\tau & = & dt \qquad \end{matrix}\right. \;.\]
Ce changement de variable est défini sous forme d'un système différentiel qui conduit a des relations de la forme
\[\left\{\begin{matrix} a &=& A(x,t) \cr \tau &=& t \cr\end{matrix}\right. \qquad \hbox{ou bien} \qquad \left\{\begin{matrix} x &=& X(a,\tau) \cr t &=& \tau \cr\end{matrix}\right. \;,\]
que l'on ne peut pas déterminer, dans le cas général, sans connaître le champ \(\rho(x,t)\). Ces relations différentielles sont en effet des notations pour les relations
\[\left\{\begin{matrix}da & =& dx - c\; dt \cr d\tau & = & dt \qquad \end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\partial A(x,t)}{\partial x} = 1 \cr \frac{\partial A(x,t)}{\partial t} = -c[\rho(x,t),x,t]\end{matrix}\right. \;.\]
Les conditions \(X(a,0)=a\) ou \(A(x,0)=x\) permettent de définir de manière unique le changement de variable.
On peut exprimer les opérateurs différentiels \(\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial t}\right)\) en fonction de \(\left(\frac{\partial}{\partial a}, \frac{\partial }{\partial \tau}\right)\)en transposant la relation différentielle
\[\left(\begin{matrix}da \cr d\tau\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & -c \cr 0 & 1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}dx \cr dt\end{matrix}\right) \qquad \Longleftrightarrow\qquad \left(\begin{matrix}\frac{\partial }{\partial x}\cr \frac{\partial }{\partial t}\end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \cr -c & 1\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\frac{\partial }{\partial a} \cr \frac{\partial }{\partial \tau}\end{matrix}\right) \;.\]
En notant \(\rho^{(L)}(a,\tau)\) l'expression du champ \(\rho(x,t)\) pour les nouvelles variables, l'équation d'advection scalaire s'écrit
\[\begin{eqnarray} \left(\frac{\partial }{\partial t} + c \; \frac{\partial }{\partial x}\right) \rho & =& \left( -c \; \frac{\partial }{\partial a} + \frac{\partial }{\partial \tau} + c\; \frac{\partial }{\partial a}\right){\rho^{(L)}} = \cr \frac{\partial \rho^{(L)}}{\partial \tau}(a,\tau) &=& f\left[\rho^{(L)}(a,\tau), X(a,\tau), \tau\right] \;. \nonumber \end{eqnarray} \]
On peut aussi exprimer le changement de variable inverse sous la forme
\[\left\{\begin{matrix}dx & =& da + c\; d\tau \cr dt & = & d\tau\end{matrix}\right. \Longrightarrow\; \left\{\begin{matrix} \frac{\partial X}{\partial a} (a,\tau) = 1 \cr \frac{\partial X(a,\tau)}{\partial \tau} = c\left[\rho^{(L)}(a,\tau),X(a,\tau),\tau\right] \end{matrix}\right. \;. \]
Méthode :
Ce changement de variable permet donc de ramener la résolution de l'équation d'advection au système d'équations différentielles ordinaires couplées :
\[\begin{eqnarray} \left\{\begin{matrix} \frac{\partial X}{\partial \tau}(a,\tau) & = & c\left[\rho^{(L)}(a,\tau),X(a,\tau),\tau\right] \cr \frac{\partial \rho^{(L)}}{\partial \tau}(a,\tau) &=& f\left[\rho^{(L)}(a,\tau), X(a,\tau), \tau\right] \end{matrix}\right. \;. \nonumber \end{eqnarray} \] |
Fondamental :
Ce point de vue du changement de variable conduit à la même méthode des caractéristiques qui permet de ramener une équations aux dérivées partielles à un système d'équations différentielles couplées. De manière condensée et avec des abus de notations, on peut résumer en disant que l'équation d'advection scalaire (aux dérivées partielles) se résoud en écrivant :
\[\left(\frac{d\, \rho}{dt}\right)_{\cal C} = f(\rho,x,t) \quad \hbox{sur la courbe ${\cal C}$ d'équation}\quad \frac{d \, x}{dt} = c(\rho,x,t)\;.\] |