2.1 Construction des solutions avec un famille de courbes
Définition :
Les notions introduites sur la dérivation le long d'une courbe ou d'une famille de courbes sont utiles pour présenter la méthode de résolution de l'équation aux dérivées partielles suivante, que l'on appelera "équation d'advection'' :
\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + c(\rho,x,t) \, \frac{\partial\rho}{\partial t} = f(\rho, x,t)\;. \] |
Fondamental :
On peut en effet remplacer cette équation aux dérivées partielles par la recherche d'une famille de courbes \(\cal C\) d'équations \(x=x_{\cal C}(t)\) et d'une famille de fonctions \(\rho_{\cal C}(t)\) solutions du système d'équations différentielles ordinaires couplées
\[\left \{ \begin{matrix} \dot x_{\cal C}(t) & = c\left(\rho_{\cal C}, x_{\cal C}, t\right) \cr \dot \rho_{\cal C}(t) & = f\left(\rho_{\cal C}, x_{\cal C}, t\right) \end{matrix}\right. \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{ \begin{matrix} \left(\frac{d\, x }{dt}\right)_{\cal C} & = c\left(\rho, x, t\right) \cr \left(\frac{d\, \rho }{dt}\right)_{\cal C} & = f\left(\rho, x, t\right) \end{matrix} \right. \;.\] |
Pour le démontrer, considérons la famille des solutions \(\left[x_{{\cal C}_a}(t), \rho_{{\cal C}_a}(t)\right]\) de ce système d'équations différentielles ordinaires,
que l'on a paramétrée par les intersections \(a=x_{{\cal C}_a}(0).\) La famille des courbes \({\cal C}_a\) d'équations \(x=x_{{\cal C}_a}(t)\) permet de définir un mouvement unidimensionnel par la relation \(x=X(a,t)=x_{{\cal C}_a}(t).\) On peut aussi définir la fonction \(\rho^{(L)}(a,t) = \rho_{{\cal C}_a}(t)\) à partir de cette famille de solutions. Si on suppose que les courbes \({\cal C}_a\) ne se coupent pas, on peut alors définir le mouvement inverse \(a=A(x,t)\) et construire la représentation eulérienne du champ \(\rho(x,t)\) à partir des solutions \(\rho_{{\cal C}_a}(t)\) en écrivant
\[\rho(x,t) = \rho^{(L)}\left[A(x,t), t\right] = \rho_{{\cal C}_{A(x,t)}}(t) \;, \]
En utilisant la définition de dérivée du champ \(\rho(x,t)\) le long des courbes \({\cal C},\) on peut donc écrire
\[\left( \frac{d\, \rho }{dt}\right)_{\cal C} (x,t) = \frac{\partial \rho }{\partial t} (x,t) + c\left[\rho(x,t), x,t\right] \, \frac{\partial \rho }{\partial x} (x,t) \;,\]
où l'on a utilisé \(c_{{\cal C}}(t) = \left( \frac{d\,x }{dt}\right)_{\cal C} (t) = \dot x_{{\cal C}}(t) = c\left[\rho_{\cal C}(t), x_{\cal C} (t), t\right].\) On a ainsi construit un champ \(\rho(x,t)\) solution de l'équation aux dérivées partielles de départ. En effet, cette équation s'écrit sous la forme de la relation
\[\left( \frac{d\, \rho }{dt}\right)_{\cal C} (x,t) = f(\rho,x,t) \;,\]
qui a été imposée dans la construction du champ \(\rho\) le long des courbes \({\cal C}.\) On dit que les courbes \(\cal C\) sont les "courbes caractéristiques'' de l'équation aux dérivées
partielles. On a ainsi ramené la résolution de cette équation à la détermination d'un ensemble de solutions (trajectoires) d'un système d'équations différentielles ordinaires couplées.