Conclusion du cours écrit

Fondamental

Nous avons montré que la résolution de l'équation aux dérivées partielles suivante, appelée équation d'advection :

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} (x,t) + c[\rho(x,t), x, t] \; \frac{\partial \rho(x,t)}{\partial x} = f[\rho(x,t), x, t] \;,\]

avec la condition initiale \(\rho(x,0) = \rho_0(x)\) ou \(\rho_{\cal L}(s)\) connue sur une courbe \({\cal L}\) d'équation \(x=x_{\cal L}(s),\) se ramenait à la résolution du système dynamique

\[\begin{eqnarray} \left\{ \begin{matrix} \dot x = & c(\rho,x,t) \cr \dot \rho = & f(\rho,x,t) \end{matrix} \right. \qquad \Longleftrightarrow \qquad \left\{ \begin{matrix} \dot q = & c(p,q,t) \cr \dot p = & f(p,q,t) \end{matrix} \right. \;, \nonumber \end{eqnarray} \]

avec les conditions initiales \([x(0),\rho(0)] = [a, \rho_0(a)]\) ou, le long d'une courbe \({\cal L},\) la condition \([x(s),\rho(s)]=[x_{\cal L}(s), \rho_{\cal L}(s)].\) Cette équivalence a été obtenue en remarquant que l'équation d'advection s'écrivait sous la forme de la dérivée \(\left(\frac{d\, \rho}{dt}\right)_{\cal C} (t) = f[\rho,x_{\cal C}(t),t]\) le long des courbes caractéristiques \({\cal C}\) d'équation \(x= x_{\cal C}(t)\) et définies par \(\dot x = c(\rho, x,t).\)

Méthode

Dans le cas général, la détermination de ces courbes caractéristiques doit être couplée à celle de la solution \(\rho(x,t).\) On peut interpréter cette méthode des caractéritiques en disant que ces courbes \({\cal C}\) "propagent l'information'' contenue dans \(\rho.\) Lorsque \(f=0,\) la grandeur \(\rho\) reste constante le long des caractéristique et est alors qualifiée "d'invariant de Riemann''. Dans le cas général \(f\ne0,\) cette grandeur est une "fonction de Riemann'' et se caclule en résolvant l'équation différentielle \(\left(\frac{d\, \rho}{dt}\right)_{\cal C} = f.\)

La complexité des notations nécessaires pour présenter cette méthode peut être surmontée en remarquant que les courbes caractéristiques sont les trajectoires d'un mouvement 1D d'équation \(x=X(a,t)\) dont la vitesse est \(c[\rho(x,t),x,t]\) où \(\rho(x,t)\) est la solution de l'équation d'advection. Une autre interprétation peut être suggérée à l'aide d'un mouvement, 2D cette fois, définit par le champ de vitesse \(\underline{U}(q,p,t) = [c(p,q,t), f(p,q,t)]\) dans "l'espace des phases'' \((q,p).\) Les trajectoires de ce mouvement sont les solutions du système dynamique auquel on a réduit l'équation aux dérivées partielles.

Toujours pour comprendre la complexité des notations, il est utile d'interpréter la méthode des caractéristiques à l'aide du changement de variables \((a,\tau) =[A(x,t), t]\) équivalent à \((x,t) = [X(a,\tau), \tau]\) qui permet de transformer l'équation d'advection en un système plus simple. Dans le plan \((x,t),\) ce changement de variable revient à passer d'un système de coordonnées cartésienne à un système de coordonnées curvilignes défini par les parallèles à l'axe des x (iso-\(\tau\)) et les courbes caractéristiques (iso-\(a\)).

Exemple

Plusieurs cas particuliers ont été examinés. Lorsque \(c_0\) est une constante, les caractéristiques sont des droites parallèles. Lorsque \(c(x)\) ne dépend que de \(x,\) les courbes caractéristiques se déduisent les unes des autres par une

translation en temps. Ces deux cas appartiennent au cas linéaire où \(c(x,t)\) ne dépend pas de \(\rho\) (on dit parfois quasi-linéaire lorsque \(c\) n'est pas constant). Dans ce cas, la superposition de deux solutions de l'équation d'advection (hors conditions initiales) est une nouvelle solution. Le cas où \(c(\rho)\) ne dépend pas de \(x\) et de \(t\) est non linéaire et conduit à des caractéristiques qui sont des droites pas forcément parallèles. Cette situation permet de mettre facilement en évidence les limites de la méthode des caractéristiques qui n'est plus valable lorsque les caractéristiques se coupent.

Remarque

Enfin, on peut généraliser toute cette étude au cas du système d'équations d'advection

\[\frac{\partial \rho_i}{\partial t} + c_i(\underline{\rho}, x, t) \; \frac{\partial \rho_i}{\partial x} = f_i(\underline{\rho}, x,t) \qquad \hbox{pour $i=1,...,N$ } \;,\]

où \(\underline{\rho} \in I\!R^N\) est un vecteur\( \underline{\rho} = (\rho_1, \rho_2, ...,\rho_N)\)

à \(N\) composantes. Si toutes les fonctions \(\rho_j(x,t)\) sauf une sont connues, il suffit de résoudre la fonction inconnue \(\rho_i(x,t)\) en calculant les courbes caractéristiques \({\cal C}_i\) associée à son équation d'advection et en utilisant des conditions initiales ou des conditions spécifiée sur une courbe \({\cal L}.\) Pour résoudre simultanément toutes fonctions \(\rho_i(x,t),\) il faut considérer les \(N\) familles de courbes caractéristiques \({\cal C}_i\) pour \(i=1,..,N\) et propager \(N\) conditions à partir d'une ou plusieurs courbes \({\cal L}\) ou conditions initiales.

On voit alors que la résolution de ce système d'équations aux dérivées partielles couplées se ramène à la résolution du système dynamique à \(2N\) degrés de liberté

\[\begin{eqnarray} \left\{ \begin{matrix} \dot x_i = & c_i(\underline{\rho},x_i,t) \cr \dot{ \rho_i} = & f_i(\underline{\rho},x_i,t) \end{matrix}\right. \qquad \hbox{pour ~~~$i=1,...,N$ }\;. \nonumber \end{eqnarray} \]

La méthode des caractéristiques pour résoudre un système équations aux dérivées partielles en \((x,t)\) consiste à essayer de combiner les équations pour les mettre sous la forme (5-3). Lorsque cela est possible, on dit que le système est hyperbolique.