2.0 Introduction
Fondamental :
On montre ici que la résolution de l'équation d'advection, qui est une équation aux dérivées partielles, se ramène à la résolution d'un système d'équations différentielles ordinaires pour une famille de conditions initiales. Ce système définit une famille de courbes \(\cal C\) à vitesse bornée que l'on nomme "courbes caractéristiques''.
Dans le cas particulier où \(f=0\), la quantité \(\rho\) est invariante le long de ces courbes (invariant de Riemann). Dans le cas général, la variation de \(\rho\) le long de ces courbes est alors égale à \(f.\) La méthode des caractéristiques consiste donc à résoudre ce "système dynamique'' en utilisant comme condition initiale les valeurs de \(x\) et de \(\rho\) supposées connues sur une courbe \({\cal L}\) du plan \((x,t)\). Cette méthode peut aussi s'interpréter comme un changement de variable. Sa validité cesse lorsque les courbes caractéristiques se coupent. Ce cas correspond à l'apparition de singularités dans la solution de l'équation d'advection.