Équation de D'Alembert

Nous avons établi l'équation du mouvement suivante pour la représentation continue du champ de déplacement :

\[\rho \, {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial t^2} =\alpha \, { \xi(a+\delta a,t) - 2\, \xi(a,t) + \xi(a-\delta a,t) \over \delta a^2}\;. \]

Il s'agit maintenant d'exprimer le second membre de cette équation dans la limite \(\delta a \to 0\).

MéthodeDéveloppements limités pour la limite continue

Dans la limite \(\delta a \to 0\), on peut écrire les développements limités suivants :

\[\begin{array}{lll} \displaystyle \xi(a+ \delta a,t ) &= & \displaystyle \xi(a,t) + {\partial \xi(a,t) \over \partial a} \, \delta a + {1\over 2} \, {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial a^2} \, \delta a^2 + O\left(\delta a^3\right) \cr && \cr \displaystyle \xi(a- \delta a,t ) &=& \displaystyle \xi(a,t) - {\partial \xi(a,t) \over \partial a} \, \delta a + {1\over 2} \, {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial a^2} \, \delta a^2 + O\left(\delta a^3\right) \end{array} \;. \]

En reportant ces expressions dans l'équation du mouvement, elle devient :

\[\rho \, {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial t^2} =\alpha \, {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial a^2} + O\left(\delta a\right) \;.\]

Texte légalÉquation de D'Alembert

On a donc établi, dans la limite \(\delta a \to 0\), l'équation des ondes unidimensionnelle (1D), appelée "équation de D'Alembert" 1D :

\[ {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial t^2} =c^2\, {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial a^2} \;.\]

avec \(c^2 = \alpha /\rho\), où \(c=\sqrt{\alpha /\rho}\) a la dimension d'une vitesse.

ExempleExemple de solutions

On peut vérifier aisément que \(\xi(a,t) = F(a-c\,t)\) ou \(\xi(a,t) = G(a+c\,t)\) sont des exemples de solutions pour des choix de fonctions dérivables \(F(X)\) ou \(G(X)\) quelconques. On montrera dans la suite, si ce n'est pas évident, que ces solutions représentent la propagation sans déformations de signaux aux vitesses respectives \(c\) et \(-c\).