Chaine finie de masses et ressorts

On considère une chaine de ressorts de longueurs \(\delta a\) au repos reliant des masses \(\delta m\) dont les extrémités sont en \(a_i\) pour \(i=1,2..., N\). On suppose que \(N\) tend vers l'infini avec \(L= N\, \delta a\), la longueur de la chaine et \(\rho = \delta m / \delta a\), sa masse linéique, constants. Dans cette limite, les déplacements sont représentés par un champ continu \(\xi(a,t)\) résultant de la discrétisation \(\xi_i(t)= \xi(a_i,t)\).

RappelPrincipe fondamental de la dynamique

Les forces intérieures dans les ressorts vérifient les lois de comportement \(F_{i,i+1}=\alpha \, \xi_{i,i+1}\) avec \( \xi_{i,i+1}=\xi_{1+1} - \xi_i\). Le principe fondamental appliqué aux masses \(i=2,3...,N-1\) s'écrit :

\[\delta m \, \ddot \xi_i = F_{i,i+1} - F_{i-1,i} = {\alpha \over \delta a } (\xi_{i+1} - \xi_{i} ) - {\alpha \over \delta a } (\xi_{i} - \xi_{i-1} ) ={\alpha \over \delta a } (\xi_{i+1} - 2\, \xi_i + \xi_{i-1} ) \; \]

MéthodeÉquation du mouvement

En utilisant la relation \(\delta m = \rho \, \delta a\) et la représentation continue du déplacement, l'équation du mouvement pour \(i=2,3...,N-1\) s'écrit :

\[\rho \, {\partial^2 \xi (a_i,t) \over \partial t^2} =\alpha \, { \xi(a_{i+1},t) - 2\, \xi(a_{i},t) + \xi(a_{i-1},t) \over \delta a^2}\;. \]

Nous allons montrer que le passage à la limite \(\delta a \to 0\) conduit à une équation aux dérivées partielles.