Développement limité d'une fonction (n + 1) fois différentiable
Soit 
un intervalle ouvert de 
contenant le point 
et 
une fonction 
fois différentiable sur .
On suppose également qu'il existe un nombre réel 
et une constante 
tel que les relations 
et 
impliquent 
.
Alors la formule de Taylor fournit le développement limité d'ordre 
de la fonction 
autour de .
Démonstration
La formule de Taylor est applicable à .
Pour tout , vérifiant 
En posant 
, on obtient 
.
Ainsi 
est le développement limité d'ordre de la fonction autour de .
Remarques
Si
est continue en 0, pour tout 
de , admet un 
dont la partie principale est 
.
Si
est dérivable en 0, pour tout de , admet un 
dont la partie principale est 
.
Une fonction peut admettre un
sans être fois dérivable en 
. Ainsi la fonction définie sur par :
admet un
de partie régulière 
car 
.Mais cette fonction n'est pas deux fois dérivable en
!En effet , sa fonction dérivée est donnée par :
Or
Et
n'admet pas de limite en . Donc n'est pas deux fois dérivable en .
