Développement limité d'une fonction composée
Soit 
le 
de la fonction 
. Soit 
un sous ensemble de 
contenant zéro et 
le 
de la fonction 
.
Alors, si 
, la fonction composée 
admet un développement limité d'ordre 
autour de 
, dont la partie principale est :
Conseil :
Cette expression s'obtient en substituant, dans la partie principale du développement limité de 
, 
par la partie principale du développement limité de 
et en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à .
Démonstration
Pour tout élément 
de 
, on peut écrire
soit
ce qui donne en développant
On vérifie ensuite facilement que 
.
D'où le résultat.
Exemple :
Calculer le développement limité d'ordre 
de la fonction 
autour de 0.
On a :
Or :
et :
En en conservant que les termes de degré inférieur ou égal à de :
on obtient :
