Unicité du développement limité
Soit 
une fonction admettant un développement limité d'ordre 
autour d'un point 
. Ce développement est unique.
Démonstration
Soient
et
deux 
.
Nous allons d'abord démontrer que 
.
Pour cela, raisonnons par l'absurde et supposons qu'il n'en soit pas ainsi.
Soit 
le plus petit entier naturel tel que 
. Alors, pour tout élément 
de 
, on peut écrire que
Par suite, en calculant la limite de cette expression lorsque 
tend vers , on obtient que
ce qui est absurde. On a ainsi démontré que . Il découle immédiatement de ce résultat que pour tout élément de : 
. D'où l'unicité du développement limité.
Remarque :
Supposons que 
soit le développement limité d'ordre de la fonction 
autour de . Alors, pour tout entier naturel 
, la fonction admet un développement limité d'ordre autour de dont la partie principale est 
.
