3.0 Introduction
Rappel :
On a donc présenté la méthode générale de résolution de l'équation d'advection d'un scalaire qui consiste à transformer l'équation aux dérivées partielles en un système d'équations différentielles ordinaires. Par abus de notation, ce système pourra s'écrire
\[\left\{\begin{matrix} \dot q & = & c(p,q,t) \cr \dot p & = & f(p,q,t) \end{matrix}\right. \qquad \Longleftrightarrow \qquad \left\{\begin{matrix} \dot x & = & c(\rho,x,t) \cr \dot \rho & = & f(\rho,x,t) \end{matrix}\right. \;,\] |
en distingant bien les notations \([x(t), \rho(t)]\) qui désignent les trajectoires du système dynamique et la notation \(\rho(x,t)\) qui désigne le champ scalaire que l'on cherche à déterminer.
On suppose que la condition initiale \(\rho(x,0) = \rho_0(x)\) est connue et l'on cherche le champ \(\rho(x,t)\) pour tout temps. On doit donc trouver les trajectoires du système dynamique avec les conditions initiales \([q(0), p(0)]=(q_0, p_0)\) situées sur la courbe \(p_0 =\rho_0(q_0).\) En utilisant les notations \((x,\rho)\) pour le système dynamique, on cherche donc à résoudre l'ensemble des trajectoires \([x(t), \rho(t)]\) issues des conditions aux limites \([x(0), \rho(0)] =[ a , \rho_0(a)].\)
Exemple :
On examine ici certains cas particuliers pour lesquels les courbes caractéristiques sont des droites ou des courbes parallèles. Ces cas particulier sont résumés dans le tableau 1.
\[\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline & $c_0$ & $c(x)$ & $c(\rho)$ & $c(\rho, x, t)$ \cr \hline 0 & 3.1 & 3.2 & 3.3 & \cr \hline $f(\rho, x, t) $ & 3.1 & 3.2 & & \cr \hline \end{tabular}\] Tableau 1 : Tableau des cas particuliers conduisant à des courbes caractéristiques parallèles ou droites |