Exemples de solutions stationnaires
On considère une corde tendue de longueur \(L\) dont les petits déplacements transversaux sont régis par l'équation des ondes \({\partial^2 y(x,t) \over \partial t^2}=c^2\, {\partial^2 y(x,t) \over \partial x^2}\), avec \(c= \sqrt{T/\rho}\) où \(T\) est la tension et \(\rho\) la masse linéique. On présente des exemples de solutions stationnaires permettant de satisfaire deux jeux de conditions aux limites.
Rappel : Expression analytique d'une solution stationnaire
On vérifie aisément que le champ de déplacement \(y(x,t) = a \, \sin(k\, x) \, \cos(\omega \, t)\) est solution de l'équation des ondes à condition que \(\omega= \pm k\, c\). On effet, \({\partial^2 y \over \partial t^2}=-\omega^2 \, y\) et \({\partial^2 y \over \partial x^2}=-c^2\, k^2 \, y\). Les conditions aux limites vont quantifier le choix des nombres d'onde \(k\).
Méthode : Cordes avec deux extrémités fixes
On suppose ici que les extrémités de la corde sont fixées, ce que l'on traduit par les conditions aux limites \(y(0,t) = y(L,t) = 0\). Si la première condition est trivialement satisfaite, la seconde impose \(\sin(k\, L) = 0\). On en déduit que \(k=n\, \pi/L\) où \(n\in \mathbb N^*\) est un entier strictement positif.
Le tracé des solutions montre que \(n\) est le nombre des ventres tandis que le nombre de noeuds, en comptant les extrémités, est \(n+1\).
Méthode : Cordes avec une extrémité fixe et une extrémité libre
On suppose ici que \(y(0,t)=0\) et \({\partial y \over \partial x } (L, t) = 0\), ce qui correspond au cas où l'extrémité \(x=0\) est fixée tandis que l'extrémité \(L\) est libre. On en déduit que \(k=\left(n + {1\over 2} \right)\, \pi/L\) où \(n\in \mathbb N^*\) est un entier strictement positif. Le tracé des solutions montre que \(n\) est le nombre des noeuds et de ventres, avec un noeud en \(x=0\) et un ventre en \(x=L\).