Cordes tendues

On considère une corde tendue avec une tension \(T\) (Newton : N) et on s'intéresse à ses petits déplacements dans le direction \(Oy\) perpendiculaire à son axe \(Ox\). Pour établir les équations de ces vibrations, on discrétise la corde en \(N-1\) portions de longueur \(\delta x\) et de masse \(\delta m = \rho \, \delta x\) où \(\rho\) est la masse linéique de la corde (kg.m\(^{-1}\)).

DéfinitionAngle de la corde avec l'axe

On note \(y_i\), pour \(i=1,2..., N\) les petits déplacements des points \(x_i\) situés au centre des éléments de longueur \(\delta x\) et \(\theta_{i+{1\over 2}}\) pour \(i=0,2..., N\) l'angle que fait la corde avec l'axe \(Ox\) à la jonction de ces éléments. En approximant la corde par des segments de droite, on peut écrire :

\[y_{i+1} - y_i = \delta x \, \tan \left(\theta_{i+{1\over 2}}\right)\;. \]

RappelPrincipe fondamental de la dynamique

Les forces de contact appliquées à un petit élément de centre  \(x_i\) sont de module \(T\) et font respectivement un angle \(\theta_{i-{1\over 2}}\) (sens négatif) et \(\theta_{i+{1\over 2}}\) (sens positif) avec l'axe des \(x\). En projetant sur l'axe \(Ox\) le principe fondamental de la dynamique appliqué à ce petit élément, on obtient :

\[\delta m \, {\partial^2 y_i \over \partial t^2} = T\, \left [ \sin\left(\theta_{i+{1\over 2}}\right) - \sin\left(\theta_{i-{1\over 2}} \right)\right]\;. \]

MéthodePetites oscillations

On peut estimer que les oscillations sont petites lorsque \({\partial y \over \partial x} (x,t) \ll 1\). Dans ce cas, on peut approximer tous les angles \(\theta\) par les relations \(\theta \sim \sin\theta \sim \tan \theta\) dans la mesure où \(\theta \ll 1\). L'équation du mouvement devient alors :

\[\rho \, {\partial^2 y_i \over \partial t^2} = {T\over \delta x^2} \, (y_{i+1} -2 \,y_i + y_{i-1})\;.\]

Texte légalLimite continue

En passant à la limite \(\delta x \to 0\), on obtient l'équation des ondes :

\[ {\partial^2 y(x,t) \over \partial t^2} =c^2\, {\partial^2 y(x,t) \over \partial x^2} \;,\]

avec \(c=\sqrt{T/\rho}\).