Conditions aux limites
Nous avons établi que l'équation des ondes \(\rho\, {\partial^2 y(x,t) \over \partial t^2}=T\, {\partial^2 y(x,t) \over \partial x^2}\) régissait les petits déplacements transversaux \(y\) d'une corde tendue de masse linéique \(\rho\) et de tension \(T\). Il s'agit ici de formuler les conditions aux limites de cette équation aux dérivées partielles.
Rappel : Projection de la tension dans la direction transversales
La grandeur \(F= T \, {\partial y \over \partial x} = T \, \tan(\theta) \sim T\, \theta \sim T\, \sin\theta\) peut être vue comme la projection de la tension dans la direction \(y\) puisque son angle \(\theta\) avec l'axe de la corde est supposé petit (faibles perturbations autour de la position d'équilibre).
Une seconde démonstration du passage au continu consiste à utiliser cette interprétation pour appliquer le principe fondamental de la dynamique, projeté dans la direction \(Oy\), à l'élément de longueur \(2\, \delta x\) compris entre \(x_{i-1}\) et \(x_{i+1}\) pour \(i=2,3...,N-1\) :
En utilisant \(\delta m = \rho \, \delta x\), le passage à la limite \(\delta x \to 0\) s'écrit :
Méthode : Déplacement imposé
Lorsqu'une extrémité de la corde est accrochée à un support fixe ou mobile, la condition aux limites consiste à imposer le déplacement. Si le support est immobile, par exemple en \(x=0\), on impose \(y(0,t)=0\) pour tout temps.
Méthode : Contrainte imposée
Un autre type de condition aux limites consiste à imposer la projection de la tension sur l'axe \(Oy\) à une extrémité. Si la tension reste parallèle à l'axe \(Oy\), par exemple dans le cas d'une masse attaché à l'extrémité \(x=L\) dont le poids est responsable de la tension \(T\), la condition aux limites pour cette extrémité libre de se déplacer s'écrit \({\partial y \over \partial x } (L, t) = 0\) pour tout temps.