Exemples de solutions stationnaires

On présente ici des exemples de solutions stationnaire de l'équation des ondes \({\partial^2 \xi (a,t) \over \partial t^2}=c^2\, {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial a^2}\) en présence de conditions aux limites aux bornes de l'intervalle \([0, L]\).

ExempleDéplacements nuls aux extrémités

On impose ici les déplacements nuls \(\xi(0,t)=0\) et \(\xi(L,t)=0\) aux bornes de l'intervalle. On vérifie alors l'existence de la solution :

\[\xi(a,t) = \xi_{max} \, \sin(k\, a) \, \cos(\omega\, t)\]

pour \(k=\pi/L\) et \(\omega = k\, c\). Cette solution stationnaire comporte deux noeuds, aux extrémités, et un ventre, au centre de l'intervalle.

ExempleDéplacement nul à une seule extrémité

On impose ici le déplacement nul \(\xi(0,t)=0\) et la contrainte nulle \({\partial \xi(L,t)\over \partial a}=0\) aux bornes de l'intervalle. On vérifie alors l'existence de la solution :

\[\xi(a,t) = \xi_{max} \, \sin(k\, a) \, \cos(\omega\, t)\]

pour cette fois \(k=\pi/(2 \,L)\) et \(\omega = k\, c\). Cette solution stationnaire comporte un noeud, en \(a=0\), et un ventre, en \(a=L\).