Conditions aux limites

Nous avons établi que l'équation du mouvement d'un matériau élastique était régi par l'équation de D'Alembert 1D \({\partial^2 \xi (a,t) \over \partial t^2}=c^2\, {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial a^2}\), où \(\xi(a,t)\) est le champ de déplacement. Dans certains cas, ou peut considérer que la matériau 1D est d'extension infinie si on se place loin des extrémités. Dans le cas d'une longueur finie \(L\) avec \(a \in [0, L]\), il convient de spécifier des conditions aux limites aux extrémités.

MéthodeDéplacement imposé

La condition aux limites la plus simple consiste à supposer que le déplacement est fixé. Dans le cas de l'extrémité \(a=0\), on écrit alors \(\xi(0,t) = 0\).

MéthodeContrainte imposée

On suppose ici que l'on impose une force extérieure \(F_{ext}\) en \(a=L\). En revenant à l'approximation de la déformation par une chaine de ressorts, la force intérieure \(F_{N-1,N}\) du dernier ressort vérifie :

\[F_{ext} = F_{N-1,N} ={ \alpha \over \delta a } \, [\xi_N(t) - \xi_{N-1}(t)] = \alpha \, {\xi(a_{N},t) - \xi(a_{N-1},t) \over \delta a } \underset{\delta \to o}{\longrightarrow} \alpha \, {\partial \xi(a_N,t) \over \partial a} \;.\]

La condition aux limites en \(a=L\) s'écrit donc \(F_{ext} = \alpha \, {\partial \xi(L,t) \over \partial a} \).

ComplémentConditions aux limites de Dirichlet ou de Neumann

On appelle "conditions aux limites de Dirichlet" celles qui consistent à imposer la valeur d'un champ, comme par exemple la condition de déplacement nul \(\xi(0,t)=0\), et "conditions aux limites de Neumann" celles qui consistent à imposer la dérivée de valeur d'un champ, comme par exemple la condition de contrainte \(F_{ext} = \alpha \, {\partial \xi(L,t) \over \partial a}\).