Solution générales en milieu infini

On admet ici que la forme générale de l'équation des ondes \({\partial^2 \xi (a,t) \over \partial t^2}=c^2\, {\partial^2 \xi (a,t) \over \partial a^2}\) s'écrit \( \xi(a,t) = F(a-c\,t) +G(a+c\,t)\) où \(F(X)\) et \(G(X)\) sont des fonctions dérivables quelconques.

RemarqueConditions initiales en milieu infini

On suppose que \(a \in \mathbb R\), le milieu étant considéré comme infini. On cherche alors à déterminer la solution \(\xi(a,t)\) pour \(t\ge 0\), issue des conditions initiales \(\xi(a,0)= \xi_0(a)\) et \({\partial \xi(a,0) \over \partial t} = v_0(a)\). En imposant ces conditions à la forme générale des solutions, on obtient \(F(a) + G(a) = \xi_0(a)\) et \(-c\, F'(a) +c\,G'(a) = v_0(a)\). En intégrant cette dernière équation par rapport à \(a\), on obtient le système :

\[\begin{array}{lll} \displaystyle F(a) + G(a) &= & \displaystyle \xi_0(a) \;, \cr \displaystyle - F(a) + G(a) &= & \displaystyle \phi_0(a)= \int_{a_*}^a v_0(s) \, ds \;, \end{array} \]

où \(a_*\) est une constante arbitraire. On en déduit \(2\, F(a) = \xi_0(a)-\phi_0(a)\) et \(2\, G(a) = \xi_0(a)+\phi_0(a)\).

MéthodeExpression de la solution

On a donc obtenu l'expression de la solution de l'équation de D'Alembert issue des conditions initiales :

\[\begin{array}{lll} \displaystyle \xi(a,t) &= & \displaystyle {1\over 2} \, \left[ \xi_0(a-c\,t) + \xi_0(a+c\,t) \right] + {1\over 2\, c} \, \left[ -\int_{a_*}^{a-c\,t} v_0(s) \, ds + \int_{a_*}^{a+c\,t} v_0(s) \, ds\right] \;, \cr &= & \displaystyle {1\over 2} \, \left[ \xi_0(a-c\,t) + \xi_0(a+c\,t) \right] + {1\over 2\, c} \,\int_{a-c\,t}^{a+c\,t} v_0(s) \, ds \;. \end{array} \]