Chaine de ressorts
On considère un chaine de ressorts dont le coefficient de comportement élastique \(\alpha\) est le même et les abscisses des extrémités sont notées \(a_i\) pour \(i=1,2,...,N\) et les longueurs \(l_{i,i+1} = a_{i+1} - a_i\) pour \(i=1,2..., N-1\). En l'absence de contraintes, tous les ressorts ont la même longueur \(\delta a\). On applique alors les forces \(-F_{ext}\) en \(a=a_1\) et \(-F_{ext}\) en \(a=a_N\). Les extrémités occupent alors les positions \(x_i\) pour \(i=1,2..., N\).
Définition : Allongements relatifs des ressorts
On note \(\xi_i = x_i-a_i\) les déplacements des extrémités pour \(i=1,2..., N-1\) et \(\xi_{i,i+1} = \xi_{i+1}-\xi_i\) les allongements des ressorts, pour \(i=1,2..., N-1\). Les allongements relatifs sont noté \(\Delta_{i,i+1} = \xi_{i,i+1}/l_{i,i+1}.\) En notant \(F_{i,i+1} \) les forces intérieures aux ressorts, la loi de comportement élastique entraine \(F_{ext} = F_{i,i+1} = \alpha \, \Delta_{i,i+1}\) pour \(i=1,2..., N-1\).
Méthode : Passage au continu
On suppose que \(l_{i,i+1} = a_{i+1} - a_i = \delta a \) est constant et l'on fait tendre cette longueur vers zéro tout en faisant tendre \(N\) vers l'infini de façon à maintenir la longueur \(L=(N-1) \, \delta a\) constante. On note alors \(x_i =\xi(a_i,t)\), où \(t\) est par exemple le temps si \(F_{ext}(t)\) varie, et \(\xi(a,t)\) est une fonction dérivable obtenue par passage à la limite \(\delta a \to 0\). En appliquant la relation d'équilibre des forces (principe d'action réaction) et faisant tendre \(\delta a\) vers zéro, on peut écrire :
Texte légal : Loi de comportement continue
La formulation continue de la loi de comportement élastique de ce ressort de taille \(L\) s'écrit donc :
On en déduit que le déplacement \(\xi(a,t) = \xi_0(t) + \alpha \, a \, F_{ext} (t)\) est une fonction linéaire de \(a\).