1.2 Dérivée d'un champ le long d'une courbe
On considère un champ \(\rho(x,t)\) différentiable dans le plan \((x,t)\) et une courbe \({\cal L}\) à vitesse bornée d'équation \(x=x_{\cal L}(t).\)
Définition :
On appelle "dérivée de \(\rho\) le long de \({\cal L}\)'' la quantité
\[\left( \frac{d\, \rho}{dt}\right)_{\cal L} (t) = \left[ \frac{\partial }{\partial t} + c_{{\cal L}}(t) \, \frac{\partial }{\partial x} \right] \rho \left[x_{{\cal L}}(t), t\right] \quad \hbox{avec} \quad c_{{\cal L}}(t) = \dot x_{\cal L}(t). \;, \] |
En notant \(\rho_{{\cal L}}(t) = \rho\left[x_{{\cal L}}(t), t\right],\) un calcul simple montre que \(\left( \frac{d\, \rho}{dt}\right)_{\cal L} = \dot \rho_{{\cal L}}.\) On vérifie trivialement que si \(\rho(x,t) = x,\) cette notation \(\left( \frac{d\, }{dt}\right)_{\cal L}\) coïncide avec la notation \(\left( \frac{d\, x}{dt}\right)_{\cal L}\) définie précédemment et désignant la vitesse associée à la courbe \({\cal L}.\)