1.0 Introduction
Fondamental :
On définit ici la dérivée d'un champ \(\rho(x,t)\) le long d'une courbe \(\cal L\) du plan \((x,t).\) On se limite au cas des courbes \({\cal L}\) que l'on peut décrire par une équation \(x=x_{\cal L}(t)\) et qui admettent donc une vitesse \(c_{\cal L}=\dot x_{\cal L}\) bornée.
Cette notion de dérivée est facile à définir intuitivement : on regarde la variation de\(\rho\) en suivant la courbe \({\cal L}\) et on dérive par rapport au temps. La difficulté principale de ce paragraphe réside dans la définition de notations : \(\rho^{(L)}(a,t)=\rho[x_{\cal L}(t),t]\) avec \(a=x_{\cal L}(0),\) \(\left(\frac{\rho}{dt}\right)_{\cal L}= \frac{\partial \rho^{(L)}}{\partial t}= \frac{\partial \rho}{\partial t}+ c_{\cal L} \frac{\partial\rho}{\partial x}\) avec \(c_{\cal L} = \left(\frac{x}{dt}\right)_{\cal L} = \dot x_{\cal L},\) etc.
Lorsque l'on considère une famille de courbes \({\cal L}_{a}\) paramétrée par \(a,\) ont peut faire l'analogie entre les dérivées d'un champ le long de ces courbes et sa dérivée particulaire pour le mouvement 1D défini par ces courbes. Les notions de représentations lagrangienne et eulérienne sont alors pertinentes pour comprendre la complexité des notations.