Ondes tridimensionnelles

On s'intéresse ici  aux solutions \(\psi(x,y,z,t)\) de l'équation des ondes tridimensionnelle (3D) \({\partial^2 \psi  \over \partial t^2}=c^2\, \left( {\partial^2 \psi \over \partial x^2}+{\partial^2 \psi \over \partial y^2}+{\partial^2 \psi \over \partial z^2}\right)\).

DéfinitionOndes planes progressives monochromatiques

La représentation complexe des ondes planes progressives monochromatiques s'écrit :

\[\underline \psi(x,y,z,t)= \psi_m \, e^{i\, \left(\vec k \cdot \vec x - \omega \, t\right)} = \psi_m \, e^{i\, \left(k_x\,x + k_y \, y + k_z\, z - \omega \, t\right)} \;,\]

où \(\psi_m\in \mathbb C\) est une amplitude complexe et \(\vec k\) un vecteur d'onde de coordonnées \((k_x, k_y, k_z)\) dans l'espace vectoriel \(\mathbb R^3\). Ces ondes sont solutions de l'équation des ondes 3D pour \(\omega = || \vec k|| \, c\). On peut toujours choisir la base du repère de telle sorte que \((k, 0, 0)\) soient le nouvelles coordonnées du vecteur d'onde avec \(k>0\). On se ramène ainsi à l'expression des ondes non dispersives de la forme \(\psi (x,y,z,t) = F(x-c\, t)\).

DéfinitionOndes sphériques

En utilisation les coordonnées sphériques, on montre l'existence d'ondes progressives sphériques, solutions de l'équation des ondes 3D, sous la forme complexe :

\[ \underline \psi(x,y,z,t)={ \psi_m \over r} \, e^{i\, \left(k\, r - \omega \, t\right)} \;,\]

où \(\psi_m\in \mathbb C\) est amplitude complexe, \(r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) la coordonnée radiale, \(k>0\) un nombre d'onde et \(\omega = k\, c\) la pulsation associée. Cette onde propage ses crêtes de façon radiale du centre vers l'infini. On obtient des ondes progressives sphériques dont les vitesses de phase convergent vers le centre en changeant \(\omega\) en \(-\omega\) dans l'expression complexe. L'amplitude de ces ondes décroit avec \(r\).

DéfinitionOndes cylindriques

Les oscillations d'un tambour ou les ondes de surface en milieu peu profond sont des exemple d'onde bidimensionnelles non dispersives de la forme \(\psi(x,y,t)\). En imposant la symétrie par rotation autour de l'axe \(Oz\), on se restreint à des solutions de la forme \(\psi(r,t)\) où \(r=\sqrt{x^2 + y^2}\) est ici la coordonnée polaire. On obtient par exemple des ondes stationnaires de la forme :

\[\psi(r,t)={ \psi_m} \, J_0(k_n\, r) \, \cos(\omega_n \, t + \varphi) \;,\]

où \(J_0(X)\) est une fonction de Bessel, \(k_n\) un nombre d'onde, \(\omega_n = k_n\, c\) une pulsation et \(\varphi\) une phase. Lorsque le domaine \(r\in [0, R]\) est un disque borné avec des conditions aux limites aux frontières, les nombres d'onde \(k_n\) et les pulsations associées \(\omega_n\) sont quantifiées avec \(n \in \mathbb N^*\). Ces ondes sont par exemple des modes propres d'oscillation d'un tambour ou d'un bassin peu profond, restreints aux ondes invariantes par rotation.

Les ondes progressives invariantes par rotation s'écrivent, en représentation complexe, sous la forme :

\[\underline \psi(r,t)={ \psi_m} \,\left[ J_0(k\, r) + i \, Y_0(k\, r) \right] \, e^{-i\, \omega\,t} \;,\]

où \(Y_0\) est une fonction de Bessel "de deuxième espèce" et la pulsation et le nombre d'onde sont tels que \(\omega=k\, c\). Lorsque \(r\) est grand, ces fonctions de Bessel se rapprochent de sinusoïdes d'amplitudes décroissantes avec \(r\).