Ondes mécaniques

La vitesse de phase \(c_p= \omega /k\) est la vitesse à laquelle se propagent les crêtes et les creux des vagues. Elle dépend du nombre d'onde à travers la relation \(c_p(k) = \Omega(k)/k = \sqrt{g/k}\). Ces ondes sont donc dispersives : leur vitesse de phase dépend de la longueur d'onde \(\lambda = 2\, \pi / k\). L'équation \(\omega = \Omega(k)\) est appelée "relation de dispersion".

La vitesse de groupe est défini par la relation \(c_g(k) = \Omega'(k) = {1\over 2} \, \sqrt{g/k}\). C'est la vitesse de propagation de l'énergie ou des paquets d'ondes, comme on peut l'illustrer sur l'exemple de la superposition de deux ondes monochromatiques de nombres d'onde \(k\) et \(k+ \delta k\) voisins pour \(\delta k\) petit :

où \(\omega + \delta \omega = \Omega(k + \delta k) \sim \omega + c_g(k)\, \delta k\), en se restreignant au second ordre du développement limité en \(\delta k\). L'application de la formule trigonométrique \(\cos p + \cos q = 2\, \cos\left( {p+q\over 2}\right)\, \cos\left( {p-q\over 2}\right)\) permet d'écrire :

où \(c_p \sim \omega /k\) est proche de la vitesse de phase et \(c_g \sim \delta \omega / \delta k\) est proche de la vitesse de groupe.

Par analogie avec le traitement du signal, ce paquet de deux ondes peut être vu comme la modulation d'une onde "porteuse" de longueur d'onde \(\lambda = 2\, \pi /k\) par une enveloppe de période \(\Lambda/2\), grande devant \(\lambda\), avec \(\Lambda = 4\, \pi /\delta k\). Les crêtes de l'onde porteuse se propagent à la vitesse de phase tandis que l'enveloppe se propage à la vitesse de groupe. Dans le cas des ondes de surface en profondeur infinie, la vitesse de groupe est la moitié de la vitesse de phase.