Ondes amorties

Pour illustrer la notion d'ondes amorties, on prend l'exemple d'une chaine de petits ressorts de longueur \(\delta a\) couplant des petits solides de masse \(\delta m=\rho\, \delta\) le long d'un axe. En plus des forces intérieurs induites par l'élongation des ressorts, on suppose que le frottement des solides en mouvement dans un fluide induit des forces opposées à leur déplacement et dont l'intensité est proportionnelle à leur vitesse.

RappelForces exercées par les ressorts.

Les forces intérieures sont \(F_{i,i+1} = (\alpha / \delta a) \, (\xi_{i+1} - \xi_i)\) où \(\xi_i\) est le déplacement des solides pour \(i\in \mathbb Z\) et \(\alpha\) une constante traduisant la raideur des ressorts. Dans la limite du continu \(\delta a\to 0\), ces forces s'écrivent \(F=\alpha \, {\partial \xi \over \partial a} (a,t)\), où \(\xi(a,t)\) est le champ de déplacement.

DéfinitionForces de frottement

On suppose qu'un petit solide dont le déplacement est \(\xi_i(t)\) subit une force de frottement \(G_i = -\beta \, \delta a \, \dot \xi_i\), où \(\beta\ge 0\) dépend de la viscosité du fluide. Le principe fondamentale appliqué à un petit solide s'écrit donc :

\[\rho\, \delta a \, \ddot \xi_i = F_{i,i+1} - F_{i-1,i} + G_i = {\alpha \over \delta a} (\xi_{i+1} -2 \, \xi_i + \xi_{i-1} ) - \beta\, \delta a \, \dot \xi_i\;.\]

Le passage au continu \(\delta a\to 0\) s'écrit alors :

\[\rho\, {\partial^2 \xi \over \partial t^2} = \alpha \, {\partial^2 \xi \over \partial a^2} - \beta \, {\partial \xi \over \partial a} \qquad \Longleftrightarrow \qquad {\partial^2 \xi \over \partial t^2} = c^2 {\partial^2 \xi \over \partial a^2} - 2\, \sigma \, {\partial \xi \over \partial t} \;, \]

avec \(c^2 = \alpha /\rho\) et \(\sigma = \beta / (2\, \rho)\).

MéthodeRésolution à l'aide des solutions complexes

On cherche des solutions \(\xi(a,t) = \operatorname{Re} \left[\underline \xi (a,t)\right]\) avec :

\[\underline \xi (a,t)=\xi_m \, e^{i\, k\, x + s\, t}\;,\]

où \(\xi_m \in \mathbb C\) est une amplitude complexe, \(k\in \mathbb R\) est un nombre d'onde et \(s\in \mathbb C\) une nombre complexe. En reportant dans l'équation aux dérivées partielles du mouvement, on obtient :

\[\left(s^2 + 2\, \sigma \, s + k^2 \, c^2\right) \, e^{i\, k\, a +s \, t} = 0\;. \]

On en déduit que \(s\) doit être une des racines de l'équation du second degré \(s^2 + 2\, \lambda \, s + k^2 \, c^2=0\). Lorsque \(\lambda\), qui traduit le frottement, est petit, ces racines sont \(s \sim -\sigma \pm i\, \omega\) avec \(\omega \sim k\,c\).

Texte légalForme générale des solutions

En notant \(\xi_m = |\xi_m| \, e^{i\, \varphi}\), on a donc trouvé des solutions réelles de la forme : 

\[\xi(a,t) = |\xi_m| \, e^{-\sigma \, t} \, \cos(k\, a - \omega\,t + \varphi) \;. \]

Le frottement amortit donc exponentiellement l'amplitude des ondes.