Ondes progressives monochromatiques

On appelle "onde progressive monochromatique" un champ de la forme :

\[\psi(x,t) = A \, \cos (k\, x - \omega \, t+ \varphi)\;.\]

Cette expression est solution de l'équation des ondes pour \(\omega = k \, c\). On définit alors la longueur d'onde \(\lambda =2 \, \pi /k\), où \(k\) est appelé le nombre d'onde, et la période temporelle \(T= 2\, \pi /\omega\), où \(\omega\) est la pulsation. On définit alors la fréquence \(f =1/T\) (Hertz : s\(^{-1}\)).

MéthodeNotation complexe

On remarque que \(\psi =\operatorname{Re}\left(\underline \psi\right)\) avec

\[\underline\psi(x,t) = \psi_m \, e^{i\, (k\, x - \omega \, t)} \qquad \hbox{avec} \qquad \psi_m = A \, e^{i\, \varphi} \in \mathbb C \;,\]

où \(A\in \mathbb R\) est l'amplitude de l'onde et \(\varphi\in \mathbb R\) est sa phase. En reportant l'expression complexe dans l'équation des ondes, on obtient :

\[-\omega^2 \,\psi_m \, e^{i\, (k\, x - \omega \, t)} = -c^2 \, k^2 \psi_m \, e^{i\, (k\, x - \omega \, t)}\;. \]

Cette expression n'est solution que si l'une des deux relations de (non-)dispersion \(\omega = k\, c\) ou \(\omega = -k\, c\) est vérifiée.