Propagation d'un signal
On considère un champ spatio-temporel de la forme \(\psi(x,t) = F(x-c\, t)\) tel que \(\psi(a,0) = F(a)\) est un profil spatial connu. On cherche à tracer les profils spatiaux de ce champ lorsque de temps évolue. Notons qu'un tel champ est solution de l'équation des ondes 1D, mais le recours à cette équation n'est nécessaire dans ce paragraphe.
Méthode : Signal vu par un observateur mobile
On considère la trajectoire \(x_a(t) = a + c\, t\) pour une valeur de \(a\) fixée. On s'intéresse alors à la valeur \(f_a(t)\) du signal observé en suivant cette trajectoire. Un simple calcul montre que \(f_a(t) = \psi[ x_a(t), t] = F(a)\) ne dépend pas du temps. On dit alors que le signal \(F(a)\) se propage à la vitesse \(c\). Plus généralement, le profil \(F(a)\) se déplace à la vitesse \(c\) sans se déformer.
Remarque : Propagation dans le sens négatif
Une démonstration similaire permet d'établir que le champ \(\psi(x,t) = G (x+ c\,t)\) décrit la propagation sans déformation du signal \(G(a)\) à la vitesse \(-c\).