Solutions de l'équation des ondes

Comme indiqué précédemment, on admet que la forme générale de l'équation des ondes \({\partial^2 \psi (x,t) \over \partial t^2}=c^2\, {\partial^2 \psi(x,t) \over \partial x^2}\) s'écrit \( \psi(x,t) = F(x-c\,t) +G(x+c\,t)\) où \(F(X)\) et \(G(X)\) sont des fonctions dérivables quelconques.

MéthodeVérification de la validité des solutions

Sans chercher à démontrer leur généralité, ont peut vérifier que ces expressions sont bien solutions de l'équation des ondes en écrivant :

\[\begin{array}{ccccccc} \displaystyle {\partial \psi \over \partial x} &= & \displaystyle F'(x-c\,t) + G'(x+c\,t)\;, & \qquad & \displaystyle {\partial^2 \psi \over \partial x^2} &= & \displaystyle F''(x-c\,t) + G''(x+c\,t)\;, \cr &&&&&& \cr \displaystyle {\partial \psi \over \partial t} &= & \displaystyle -c \, F'(x-c\,t) + c\, G'(x+c\,t)\;, & \qquad & \displaystyle {\partial^2 \psi \over \partial t^2} &= & c^2\, \displaystyle F''(x-c\,t) + c^2\, G''(x+c\,t)\;. \end{array} \]

RemarqueAutre expression générale

L'expression générale des solution de l'équation des ondes 1D s'écrit également sous la forme \( \psi(x,t) =f(t-x/c) + g(t+x/c\) où \(f(T)\) et \(g(T)\) sont des fonctions dérivables quelconques.

ComplémentUn changement de variable pour démontrer la généralité des solutions

Sans présenter la démonstration qui attestent que toutes les solutions sont de la forme indiquée, on mentionne ici le changement de variable \(u=x-c\,t\) et \(v = x+c\, t\) qui permet de l'initier.