Superposition d'ondes progressives

On considère la superpostion \(\psi(x,t) = \psi_+(x,t) + \psi_-(x,t)\) de deux ondes monochromatiques \(\psi_+(x,t) = a\, \cos(k\, x - \omega\,t)\) et \(\psi_-(x,t) = a\, \cos(k\, x + \omega\,t)\), de même longueur d'onde et de même amplitude, mais se propageant dans des sens contraires. On va montrer que cette combinaison conduit à une onde stationnaire.

MéthodeExpression analytique

L'application de la formule trigonométrique \(\cos p + \cos q = 2\, \cos\left( {p+q\over 2}\right)\, \cos\left( {p-q\over 2}\right)\) permet d'écrire :

\[\psi(x,t) = a\, \cos(k\, x - \omega\,t) + a\, \cos(k\, x + \omega\,t) = 2\, a\, \cos( k\,x) \,cos(\omega\,t)\;.\]

La superposition de ces ondes progressives, qui se propagent avec leurs vitesses respectives \(c=\omega/k\) et \(c=-\omega/k\), est donc un solution stationnaire.

RemarqueForme générale de la superposition

Même si on peut toujours se ramener aux expressions ci-dessus par changement d'origine de l'axe spatial et de l'axe temporel, l'expression générale traduisant cette superposition d'ondes monochromatique s'écrit :

\[\psi(x,t) = a\, \cos(k\, x - \omega\,t + \varphi_+) + a\, \cos(k\, x + \omega\,t+ \varphi_-) = 2\, a\, \cos[k\,(x-x_0)] \,cos[\omega\,(t-t_0)]\;,\]

où \(x_0\) et \(t_0\) s'expriment en fonction des phases \(\varphi_+\) et \(\varphi_-\) en appliquant la formule trigonométrique rappelée ci-dessus.