Séparation de variables

On cherche ici des solutions de l'équation des ondes \({\partial^2 \psi (x,t) \over \partial t^2}=c^2\, {\partial^2 \psi(x,t) \over \partial x^2}\) sous la forme \(\psi(x,t) = F(x) \, G(t)\). Ces solutions sont dites "stationnaires" dans la mesure où le signal temporel est partout proportionnel à la fonction \(G(t)\). On appellera également "solution stationnaire" toute combinaison linéaire de telles solutions.

MéthodeChoix d'une constante

En reportant l'expression recherchée dans l'équation des ondes, on obtient \(F(x)\, G''(t) = c^2\, F''(x) \, G(t)\), ce que l'on peut mettre sous la forme :

\[{G''\over G} (t) = c^2 \, {F''\over F} (x) = \left\{ \begin{array}{c} \gamma^2 \cr -\omega^2 \end{array} \right. \;.\]

En effet, l'égalité d'une fonction ne dépendant que de \(t\) avec une fonction ne dépendant que de \(x\) entraine qu'elles sont toutes les deux constantes. Le choix d'une constante positive conduit à des solutions de la forme :

\[G(t) = B_+ \, e^{\gamma \, t} + B_-\, e^{-\gamma \, t} \qquad \hbox{et} \qquad F(x) = A_+ \, e^{\gamma \, x \over c } + A_-\, e^{-\gamma \, x\over c}\;. \]

Ces solutions divergent avec le temps si \(B_+\) n'est pas nul, et tendent vers zéro sinon. On considère donc les solutions plus intéressantes de la forme

\[\underline G(t) = b_+ \, e^{i\, \omega \, t} + b_-\, e^{-i\, \omega\, t} \qquad \hbox{et} \qquad \underline F(x) = a_+ \, e^{i\, { \omega\, x\over c} } + a_-\, e^{i\, { \omega\, x\over c} }\;, \]

avec \((b_+, b_-, a_+, a_-)\) amplitudes complexes.

Texte légalForme générale des solutions stationnaires

On en déduit que \(G(t)=\operatorname{Re}\left[\underline G(t)\right] = b_m \, \cos(\omega \, t + \beta)\) et \(F(x)=\operatorname{Re}\left[\underline F(x)\right] = a_m \, \cos(\omega \, x /c + \alpha)\) où \((b_m, a_m, \beta, \alpha)\) sont des amplitudes ou des phases réelles. L'expression générale des solutions stationnaires de l'équation des ondes peut finalement s'écrire :

\[\psi(x,t) = \psi_m\, \cos\left[k\,(x-x_0)\right]\, \cos\left[\omega\,(t-t_0)\right] \;,\]

avec \(\omega = k\, c\). Cette expression permet de calculer la distance entre les noeuds et les ventres de l'onde stationnaire.