Modélisation du mouvement
On considère un barreau élastique de section \(S\) constante, d'axe \(Oa\) et de densité linéique \(\rho\) (kg.m\(^{-1}\)). On note \(\xi(a,t)\) le champ de déplacement dans ce milieu continu. On note \(T(a,t)\) le champ de forces intérieures dans le barreau. La loi de Hooke relie ces deux champs à travers la relation :
\[T(a,t) = E\, S\, {\partial \xi (a,t) \over \partial a} \;.\]
Rappel : Principe fondamental de la dynamique
L'application du principe fondamental de la dynamique à une portion du barreau de longueur \(\delta a\) et donc de masse \(\delta m = \rho\, \delta a\) s'écrit :
\[\delta m \, {\partial^2 \xi \over \partial t^2}(a,t) =
T(a + \delta a,t) - T(a,t) = E\, S\,
\left[ {\partial \xi \over \partial a} (a+\delta a,t)-{\partial \xi \over \partial a} (a,t) \right] \;.\]
En utilisant \(\delta m = \rho\, \delta a\) on obtient :
\[ {\partial^2 \xi \over \partial t^2}(a,t) =
T(a + \delta a,t) - T(a,t) = {E\, S\over \rho} \,
{ {\partial \xi \over \partial a} (a+\delta a,t)-{\partial \xi \over \partial a} (a,t) \over \delta a }
\;. \]
Méthode : Passage à la limite d'une portion infinitésimale
En faisant tendre \(\delta a\) vers zéro, on obtient l'équation des ondes :
\[ {\partial^2 \xi \over \partial t^2}(a,t) = c^2\; {\partial^2 \xi \over \partial a^2} (a,t) \;,
\]
avec \(c= \sqrt{ E\, S /\rho}\).