Ondes électriques dans un coaxial

On considère un cable coaxial dont l'âme central est un fil de cuivre entouré d'un isolant, lui-même entouré d'une gaine de cuivre. On discrétise le coaxial par des petits éléments de taille \(\delta x\) constitué d'une inductance \(\Lambda\, \delta x \) et d'une capacité \(\Gamma \delta x\). On s'intéresse aux fluctuations du courant électrique et de la tension le long du coaxial.

RappelCouplage entre le courant et la tension

On note \(I_i\) le courant dans l'élément de longueur \(\delta x\) de la gaine considéré comme une inductance \(\Lambda \, \delta x\) centrée autour de la position \(x_i\). On note \(U_{i+{1\over 2}}\) la tension à l'interface de deux tels éléments de coordonnées respectives \(x_i\) et \(x_{i+1}\) et on la considère comme étant la tension aux bornes de la capacité \(\Gamma \, \delta x\), la gaine étant supposée reliée à terre. Les lois des mailles et des noeuds s'écrivent respectivement :

\[U_{i-{1\over 2}}- U_{i+{1\over 2}} - = \Lambda \, \delta x\, {\partial \over \partial t} I_i \qquad \hbox{et} \qquad I_{i} -I_{i+1} = \Gamma \, \delta x\, {\partial \over \partial t} U_{i+{1\over 2}} \;. \]

MéthodePassage au continu

En faisant tendre \(\delta x\) vers zéro, ces équations deviennent :

\[{\partial U \over \partial x} =- \Lambda \, {\partial I \over \partial x} \qquad \hbox{et} \qquad {\partial I \over \partial x} = -\Gamma \, {\partial U \over \partial t} \;. \]

En combinant ces deux équations, on obtient l'équation des ondes \({\partial^2 I \over \partial t^2}=c^2\, {\partial^2 I \over \partial x^2}\) avec \(c= \sqrt{1 / (\Lambda \, \Gamma)}\).