Equation différentielle du second ordre
Equation différentielle du second ordre
Question
Déterminer la forme générale de la solution de l'équation différentielle 
:
L'équation peut s'écrire :
C'est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. On résout l'équation homogène, puis on recherchera une solution particulière.
Solution de l'équation homogène : on suppose une solution du type
, ce qui conduit à l'équation caractéristique :
Cette équation admet deux racines complexes conjuguées :
et 
. La solution est donc :
où
et 
sont des constantes réelles.Solution particulière : le second membre est une combinaison linéaire de fonctions de la forme
, polynôme de degré 
et d'une fonction trigonométrique. On recherchera donc une solution particulière du type 
, soit :
En injectant ces relations dans l'équation
, nous obtenons :
Soit
On obtient donc la solution particulière :
La solution générale de l'équation est donc : 
où et sont des constantes réelles.
