Espace vectoriel sur un corps K
Introduction
Dans toute la suite
désigne le corps
ou le corps
des nombres complexes. Ce dernier exemple permet d'illustrer quelques exemples particuliers, mais l'essentiel du cours portera sur le corps des réels ainsi que la totalité des exercices.
Définition : Espace vectoriel
On appelle espace vectoriel sur le corps, un ensemble
sur lequel on a défini deux lois de composition :
Une loi interne, c'est à dire une application de
, notée
qui vérifie les propriétés suivantes :
Il existe un élément de
, noté
, appelé élément neutre, tel que :
Pour tout
élément deil existe un élément de noté
, appelé symétrique de, tel que :
Une loi externe, c'est à dire une application de
, notée
qui vérifie les propriétés suivantes :
Remarque :
Le mot vecteur désigne le nom d'un élément d'un espace vectoriel. Ce n'est pas nécessairement un objet géométrique, et on ne met pas toujours de 
. Les éléments du corps sont appelés scalaires.
