Equivalence - Similitude
Introduction
La formule de changement de base détaillée dans l'exemple précédent exprime une relation d'équivalence entre deux matrices de même taille :
Equivalence de deux matrices
Définition : Equivalence de deux matrices
Soient 
et 
deux matrices de même taille. 
et 
sont dites équivalentes si et seulement si il existe deux matrices carrées inversibles, 
et 
, telles que
.
Remarque :
Les matrices 
et 
correspondent en pratique à des changements de base dans 
(espace d'arrivée) et 
(espace de départ) respectivement, et et représentent la même application linéaire dans ces différentes bases.
Similitude de deux matrices carrées
Introduction
Dans le cas particulier des endomorphismes d'un espace vectoriel 
, l'espace de départ étant égal à l'espace d'arrivée, on n'a plus qu'un seul changement de base à considérer, et on parle alors de similitude entre matrices carrées :
Définition : Similitude de deux matrices carrées
Soient et 
deux matrices carrées de même taille. et sont dites semblables si et seulement si il existe une matrice carrée inversible, 
telle que
.
et représentent alors un même endomorphisme 
de écrit dans deux bases différentes, la matrice représentant ce changement de base.
