Principe
Exemple :
Considérons, dans 
, la base canonique
, et une autre base
les composantes des vecteurs 
et 
étant exprimées dans la base canonique. Notons
la matrice formée des vecteurs colonne et étant exprimés dans la base canonique.
La matrice ainsi définie s'appelle matrice de passage de la base 
à la base 
.
Cette matrice représente en fait l'endomorphisme identique de muni de la base , dans muni de la base . En effet, quel que soit le vecteur de coordonnées 
dans la base, on a
ce qui exprime les coordonnées de
dans la base .
Pour avoir l'expression matricielle de l'endomorphisme identique de muni de la base , dans muni de la base , il suffit d'inverser la matrice précédente. En effet, en reprenant la même démarche que précédemment, cela revient à déterminer l'expression de 
et
en fonction de 
et, et à "ranger" ces résultats en colonne dans une matrice. On vérifie assez facilement que
et que
. La matrice résultante est donc
qui correspond bien à l'inverse de la matrice
(car 
).
