Introduction
Revenons aux familles génératrices. On peut chercher une famille finie génératrice telle que le nombre de vecteurs de cette famille soit minimal. Ainsi, si un vecteur de cette famille est combinaison linéaire des autres, on peut l'enlever de la famille, la nouvelle famille restera génératrice mais aura un vecteur de moins. Si l'on recommence autant de fois que possible, on obtiendra une famille génératrice qui aura un nombre minimal de vecteurs et qui sera donc libre.
Dans 
, considérons les vecteurs 
, 
, 
, 
. La famille 
est génératrice dans . En effet tout vecteur 
s'écrit, par exemple, comme :
.
Or 
, et on peut donc enlever 
de la famille . La famille 
est donc aussi génératrice dans .
De la même manière, 
,et la famille 
est encore génératrice dans .
Enfin, comme 
ne peut pas s'écrire sous la forme 
, la famille génératrice a un nombre minimal de vecteurs, et est donc libre.
