Equation différentielle linéaire à coefficients non constants
Méthode :
On considère ici les équations du type
où 
, 
et 
sont des fonctions de la variable réelle 
. La procédure d'intégration est semblable à celle suivie pour résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients constants et se déroule donc en 3 étapes :
Résolution de l'équation homogène (sans second membre) :
On résout l'équation différentielle à variables séparables :
on obtient alors une solution du type
où 
et 
est une constante réelle.
Variation de la constante
On considère donc maintenant comme une fonction de (et non plus comme une variable constante) et on cherche à déterminer 
telle que :
soit solution de l'équation différentielle avec le second membre.
Solution générale de l'équation complète
On remplace par la famille de primitives obtenue précédemment dans l'expression :
Exemple
Exemple :
Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle :
Ici 
, 
et 
Résolution de l'équation homogène
On cherche dans un premier temps la fonction 
telle que :
soit
Cette équation peut s'écrire :
On peut effectuer une intégration à variables séparées. D'où :
, constante réelle, peut s'écrire 
où est une constante réelle, d'où
Or 
d'où :
est solution de l'équation sans second membre
Variable de la constante
On écrit : 
s'écrit alors : 
L'équation à résoudre devient :
d'où
soit
où est une constante réelle.
Solution générale
La solution générale de l'équation s'écrit :
où est une constante réelle.
Exemple
Exemple :
Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle :
Ici 
, 
et 
Résolution de l'équation homogène
On cherche dans un premier temps la fonction telle que :
soit
Cette équation peut s'écrire :
On peut effectuer une intégration à variables séparées. D'où :
, constante réelle, peut s'écrire où est une constante réelle, d'où
or d'où :
est solution de l'équation sans second membre
Variation de la constante
On cherche une solution particulière de la forme 
.
s'écrit alors : 
L'équation à résoudre devient :
d'où
soit
Cette intégrale se calcule en décomposant la fraction rationnelle 
en éléments simples, soit :
on obtient alors :
soit :
où est une constante réelle. Cette fonction peut s'écrire :
Solution générale
La solution générale de l'équation s'écrit :
où est une constante réelle
