Base d'un espace vectoriel
Base d'un espace vectoriel
Dans 
, on considère les vecteurs : 
, 
, et 
.
Question
La famille 
est-elle libre ?
On cherche 
tels que :
.
Pour que la famille soit libre, il faut prouver que le système ainsi obtenu admet pour solution unique : 
.
Remarque : On peut éviter des calculs en exprimant 
comme combinaison linéaire de 
et 
. On en déduit alors que la famille n'est pas libre.
Question
On note 
. Déterminer une base de 
.
La réponse à la question précédente permet de déterminer une base du vectorialisé de 
.
Question
Soit 
. Montrer que 
est un sous espace vectoriel de 
.
Montrer que n'est pas vide. Puis montrer que 
et 
étant deux réels, 
et 
deux éléments de , alors on a :
(stabilité par combinaison linéaire).
Question
Déterminer une base ainsi que la dimension de .
A partir de légalité 
, on exprime (par exemple) 
en fonction de 
et 
. Chaque vecteur de peut alors s'écrire sous la forme : 
, ce qui permet aisément de trouver une base de .
Question
Prouver que 
.
Prouver que 
et 
.
