Projections et symétries - Premiers problèmes d'optimisation
Définition :
Dans ce chapitre :
Nous étudierons (à la fois de manière géométrique et algébrique) deux endomorphismes
particuliers d'un espace vectoriel E : les projecteurs et les symétries, dans
le cas général et dans le cas où l'espace E est un espace euclidien.
Nous introduirons ensuite la notion de système linéaire surdéterminé, et la résolution
de tels systèmes au sens des moindres carrés. Nous verrons que cela se ramène à
un problème particulier de projections orthogonale.
En guise d'application, nous construirons des problèmes d'approximation que nous
résoudrons à l'aide des résultats et techniques développés auparavant.
Pour finir, nous nous intéresserons à une classe de problèmes d'optimisation très
importante, à savoir la minimisation de fonctionnelles quadratiques généralisées. Nous
verrons le lien direct qui existe entre ces problèmes d'optimisation et la résolution
de systèmes linéaires particuliers, et nous verrons aussi comment interpréter tout
cela de manière géométrique à l'aide de la décomposition en vecteurs propres et
valeurs propres.
