Application au gaz parfait
Définition : Gaz parfait
Un gaz parfait est un gaz dans lequel les molécules qui le composent n'ont aucune interaction entre elles, c'est-à-dire : VN(rN) = 0.
Remarque : il n'y a pas d'hypothèse concernant la taille supposée des molécules : petites ou grosses, peut importe.
Définition : Fonction de partition du gaz parfait monoatomique
Puisque VN(rN) = 0 et nous pouvons calculer indépendamment les intégrales. concernant les coordonnées spatiales ri :
Puisqu'il y a N particules i de coordonnées ri, nous aurons VN et nous obtenons :
Définition : Équation d'état du gaz parfait
En application de la relation permettant de déduire la pression à partir de la fonction de partition, 
, et sachant que le seul terme dépendant du volume est VN, nous obtenons très facilement l'équation d'état du gaz parfait :
Remarque : Constante des gaz parfait ou constante de Boltzmann ?
En prenant comme référence une mole au lieu d'une particule, on multiplie le nombre d’Avogadro NA= 6,02214129(27) × 1023 mol-1 et kB=1,3806488 × 10-23 J.K-1 pour obtenir la constante des gaz parfaits : R = NA kB= 8,3144621 J.K-1.mol-1, afin d'écrire les équations avec le terme R T :
Remarque : Un peu d'histoire sur les lois thermodynamiques des gaz
L'Irlandais Robert Boyle (en 1662) et par le Français Edme Mariotte (en 1676) on énoncé la loi de Boyle-Mariotte qui relie la pression et le volume d'un gaz réel à température constante. Ils ont constaté que maintenir la température constante pendant une augmentation de pression d'un gaz exige une diminution de volume, soit P1V1 = P2V2 = constante.
Guillaume Amontons précisa en 1702 que la loi de Boyle Mariotte n'est valable qu'à température constante et est plus précise aux basses pressions.
Jacques Charles a énoncé dès 1787 la loi de Charles : P = P0 [1 + β(T =- T0)] à volume constant V0 et où β dépend du volume. T est en Kelvin.
"À volume constant, la pression d'une quantité fixe de gaz est directement proportionnelle à sa température absolue".
On constate que, lorsque le volume V0 devient de plus en plus grand, β tend vers une valeur universelle, indépendante du gaz, environ égale à 0,003 661 0 = 1/273,15. On peut donc écrire : P1/T1 = P2/T2 à volume constant V0.
Puis, Louis Joseph Gay-Lussac a énoncé en 1802, la loi de Gay-Lussac : V = V0 [1 + α(T - T0)] à pression constante P0, où α dépend de P0. T est en Kelvin.
Lorsque la pression P0 tend vers zéro, α tend vers une valeur universelle, indépendante du gaz, environ égale à 0,0036610 = 1 / 273,15. On peut donc écrire : V1/T1 = V2/T2 à pression constante P0.
Finalement, la loi d'Avogadro ou d'Avogadro-Ampère, énoncée par Amedeo Avogadro en 1811 établie la loi des gaz parfait. Elle spécifie que des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules.
Il faudra ensuite attendre James Clerk Maxwell en 1866 et Ludwig Boltzmann également en 1866 pour formuler la théorie cinétique des gaz et en déduire l'équation des gaz parfaits.
