Introduction
Le cours du chapitre précédent a été consacré aux définitions des séries de Fourier et de la transformation de Fourier. Nous allons consacrer celui la à un bref rappel historique puis à l'utilisation des outils introduits la semaine dernière.
Le baron Joseph Fourier est né à Auxerre en 1768, il n'a pas été le premier à utiliser les séries qui ont gardé son nom, cependant il a été à l'origine de beaucoup de progrès en mathématique et en particulier de la transformation de Fourier. Il fut ingénieur en chef de Napoléon au cours de la campagne d'Egypte dont le climat chaud l'enchanta. En fait, pendant tout le reste de sa vie, il a toujours exigé un niveau de chauffage de son bureau que tous les autres trouvaient excessif et insupportable. Hasard ou coïncidence, il a été le premier à formaliser les équations physiques sur les flux de chaleur et la conduction, et est donc à l'origine d'une des équations aux dérivées partielles les plus utilisées. Dans les paragraphes qui suivent, nous reviendrons en détail sur ce point particulier et utiliserons les séries de Fourier pour résoudre ce type d'équations. Alors que pour nous l'effet de serre est aujourd'hui d'actualité, Joseph Fourier a été le premier à comprendre et expliquer que la présence de l'atmosphère terrestre et donc de gaz au dessus de notre terre faisait que les températures de notre planète variaient relativement peu entre le jour et la nuit (équilibre thermique de l'atmosphère) ce qui avait du permettre le développement de la vie.
La résolution des équations aux dérivées partielles est un domaine des mathématiques très riche et très actif depuis 300 ans car il permet de résoudre les équations d'évolution des systèmes physiques que cela soit les équations du mouvement, de la diffusion, de la chaleur ...
Au 18ème siècle, Taylor s'est servi de séries pour résoudre certaines équations différentielles. Puis, dans la continuation des travaux d'Euler, Bernoulli, Lagrange, Laplace et Legendre, Joseph Fourier dans son livre 'Théorique Analytique de la Chaleur' (1822) a formalisé et résolu, grâce aux séries qui portent son nom, les équations de la thermique dans un certain nombre de cas. Vous pouvez consulter ce document numérisé à la BNF (http ://gallica.bnf.fr/).
Pour terminer cette introduction, les séries de Fourier peuvent être utilisées pour calculer la valeur exacte de la somme de séries entières, cependant, en temps qu'ingénieur vous aurez à les utiliser principalement pour la résolution des équations aux dérivées partielles et c'est par l'illustration que nous vous proposons de découvrir cette méthode
