Complément : décomposition en éléments simples
Pour faire du calcul intégral, il est nécessaire de savoir factoriser les polynômes et décomposer les fractions rationnelles.
Définition :
Les éléments irréductibles non constants dans l'ensemble des polynômes à coefficients réels sont les polynômes de degré 
et les polynômes de degré 
à discriminant strictement négatif. On appelle élément simple toute fraction rationnelle de la forme 
avec 
, où 
et 
sont des polynômes, 
un entier naturel, et un élément irréductible.
Fondamental :
Toute fraction rationnelle s'écrit de façon unique comme somme d'un polynôme et d'éléments simples.
Exemple
Exemple :
Soit 
On effectue la division, on obtient :
On écrit ensuite
et 
étant des réels que l'on peut trouver par identification.
On obtient :
Cas les plus fréquents
Supposons que 
soit écrit sous la forme : 
, avec 
, ,,
,
,
,
,
,
,
,
sont des constantes réelles.
admet des racines réelles d'ordre supérieur à 1 : exemple
- admet des racines réelles complexes conjuguées : exemple
- admet des racines réelles complexes conjuguées d'ordre supérieur à 1 : exemple
Exercice classique
Exemple :
Calculer l'intégrale :
On doit avoir :
et et étant des réels que l'on peut trouver par identification.
On obtient :
Donc :
Donc :
Et donc :
