Définition
Introduction
Nous n'avons utilisé, jusqu'ici que des intégrales du type 
, où 
est intégrable au sens de Riemann, donc bornée sur 
. Abordons maintenant les deux situations suivantes, dans lesquelles on parle d'intégrales généralisées d'une fonction :
Quand on intègre sur un intervalle
avec 
qui tend vers 
quand 
tend vers 
(c.a.d. tend vers 
en restant supérieur à ) ou quand tend vers 
(notion symétrique) ou bien même quand n'a pas de limite.Par exemple
sur
, 
sur , 
sur 
, 
sur .ou bien quand on intègre sur un intervalle non borné du type
, 
ou 
.Par exemple
sur 
, 
sur .
Pour simplifier la présentation, on se place systématiquement sur , ou sur 
, les adaptations à des intervalles différents mais du même type se font aisément.
Définition
On dit que la fonction
n'ayant pas de limite en 
est intégrable sur ou que l'intégrale généralisée converge en ou encore que la fonction est intégrable au voisinage de si et seulement si 
existe et est finieet on pose
On dit que la fonction
est intégrable sur ou que l'intégrale généralisée converge en 
ou encore que la fonction est intégrable au voisinage de si et seulement si
existe et est finieet on pose
Lorsqu'une intégrale généralisée ne converge pas, on dit aussi qu'elle diverge.
Remarque :
Si l'on veut étudier l'intégrabilité de sur on a deux problèmes de convergence : en puisque 
et en . On découpe l'intégrale en deux et on étudie séparément la convergence de 
et de 
la valeur intermédiaire 
étant arbitraire et n'ayant aucune influence sur la convergence de chaque morceau.
Exemples
Exemple :
est intégrable sur
En effet 
et 
Donc
Exemple :
converge
On a : 
et 
Donc
Exemple :
est intégrable au voisinage de pour 
Pour 
une primitive de 
est 
on a donc
Si
on a 
et donc 
quand 
et l'intégrale diverge.Pour
on a
quand .Si
on a 
et 
quand et l'intégrale converge et vaut
Sur le calcul est le même avec 
remplacé par 
avec qui tend vers l'infini, ce qui inverse les cas de convergence. Calcul à faire à titre d'exercice.
Commentaires
Remarque :
D'après ce que l'on vient de voir converge alors que diverge. Dans les deux cas la fonction que l'on intègre tend vers l'infini quand tend vers . Mais tend trop vite vers l'infini pour que l'intégrale converge. Ceci prend tout son sens si l'on se souvient que l'intégrale mesure (la fonction étant positive) l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des . La fonction tend assez lentement vers l'infini pour que l'aire soit finie, même si une branche est infinie, alors que c'est faux pour .
La façon de tendre vers l'infini est donc ce qui importe pour la convergence de l'intégrale.
