Théorème de la moyenne, valeur moyenne d'une fonction sur un segment
Fondamental : (Théorème de la moyenne)
Soient 
une fonction continue sur un intervalle 
(avec 
), 
et 
les bornes inférieures et supérieures de sur . Alors il existe 
compris entre et, tel que 
On a 
, on en déduit :
Et donc :
Enfin
Définition :
est une fonction intégrable sur un intervalle , avec . La valeur moyenne de sur est le réel
Si, de plus, est continue sur , il existe une valeur 
de 
comprise entre 
et 
et telle que 
Interprétation géométrique
Pour une fonction positive sur
On suppose que . L'aire du domaine associée à sur est comprise entre les aires des deux rectangles 
et 
. (
est l'aire du rectangle et 
celle du rectangle )
Cette aire est égale à l'aire du rectangle d'aire 
, étant la valeur moyenne de sur :
